PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
KÖP PREMIUM
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Innehåll
- Förenkla uttryck med parenteser
- Distributiva lagen
- Utvidgade distributiva lagen
- Exempel i videon
- Kommentarer
Förenkla uttryck med parenteser
Att utveckla uttryck innebär att skriva om uttrycken från faktorer till termer. Det gör vi genom att multiplicera och utveckla parenteser, vilket innebär att multiplicara in variabler och konstanter i parenteser, multiplicera parenteser med varandra och utveckla parenteser som är upphöjda till något.
Den lag som används när man multiplicerar in termer i parantares kallas för den distributiva lagen.
Distributiva lagen
Den distibutiva lagen hanterar hur vi utvecklar uttryck genom att multiplicera in variabler eller konstanter i parenteser. Lagen säger följande.
$a(b+c)=ab+ac$
Vi motiverar denna lag geometriskt genom att visa att samma rektangels area kan beskrivas på två olika sätt, där de båda sätten motsvarar vänsterledet och högerledet i den distributiva lagen.
Den stora rektangeln har sidorna $a$aoch$b+c$b+c. Den stora rektangelns area får vi genom att multiplicera dessa längder med varandra,$a\left(b+c\right)$a(b+c).
De två små rektanglarna har sidorna $a$aoch$b$bsamt $a$aoch$c$c. De mindre rektanglarnas areor får vi genom att multiplicera deras respektive längder med varandra. Vi får att de två rektanglarna$a\cdot b=ab$a·b=aboch$a\cdot c=ac$a·c=ac.
Exempel med multiplicera och utveckla parenteser
Utvidgade distributiva lagen
När två parenteser $(a+b)$ och $(c+d)$ multipliceras med varandra kan den utvidgade distributiva lagen användas. Den säger följande.
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Även denna lag går att motiveras geometriskt genom att en area beskrivs av vänsterledet respektive högerledet i lagen.
Nu följer några exempel på hur denna lag kan tillämpas.
Exempel 4
Förenkla uttrycket$(x+2)(x-3)$
Lösning
Vi multiplicerar enligt den utvidgade distributiva lagen.
$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
Exempel 5
Förenkla uttrycket$(-x^2-3)(-x+2)$
Lösning
Vi multiplicerar enligt den utvidgade distributiva lagen.
$(-x^2-3)(-x+2)=x^3-2x^2+3x-6$
Ofta så behöver man förenkla uttrycket efter att det har utvecklats. Detta görs genom att termer som är av samma sort läggs samman.
Exempel 6
Förenkla $2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)$2(x−2)2−2x(x−3)
Lösning
Vi utveckla först kvadraten, ”upphöjt till två” med kvadreringsregeln innan vi multiplicerar inte tvåan och får
$2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)=2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)$2(x−2)2−2x(x−3)=2(x2−4x+4)−2x(x−3)
Nu multiplicerar vi in i parenteserna
$2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)=2x^2-8x+8-2x^2+6x$2(x2−4x+4)−2x(x−3)=2x2−8x+8−2x2+6x
slu*tligen förenklar vi uttrycket genom att addera och subtrahera termer av samma sort.
$2x^2-8x+8-2x^2+6x=8-2x$2x2−8x+8−2x2+6x=8−2x
I kommande lektioner kommer vi använda oss av kunskapen kring att utveckla uttryck i samband med att vi introducerar kvadrerings- och konjugatreglerna. Vi kommer även jobba vidare med det vi kallar för fakorisering genom att göra samma procedur, fast ”baklänges”.
Exempel i videon
- Utveckla $ 3(x + 2) $.
- Utveckla och förenkla $ (3 – x)(x + 2) $.
- Utveckla $ -x(2 – x²) $.
- Utveckla och förenkla $ (x – 3)(x + 6) $.
- Utveckla och förenkla $2(2x² – x)(-4x + 6)$.
Kommentarer
Gabriel Mahrs
Hej,
På fråga 17, ”Utveckla (a+b)(a+b),” så har jag skrivit a^2+b^2+2ab, men jag får fel. Förklaringen vill att det ska vara a^2+2ab+b^2. Jag fattar inte varför jag får fel för det, eller finns det någon specifik anledning till att det just måste skrivas på det sättet?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Gabriel,
ditt svar är inte fel, men lite okonventionellt.
Kvadreringsreglen, som används här, brukar alltid anger med ”blandtermen” i mitten. Därför är det även så i facit. Men ditt svar är som sagt inte fel eftersom att vi kan byta plats på termer utan att ändra uttrycket värde.
Fanny Olofsson
Fråga 9, om det ska förenklas så långt som möjligt – anses inte x + 2 vara mer förenklat än 2x + 4?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Fanny,
Vi kan inte förenkla $2x+4$ till $x+2$. Det är inte samma uttryck.
Vid förenkling så ska ju uttrycket värde inte förändras utan bara skrivas på ett ”enklare” sätt.
Testa att sätta in tex $x=3$
Vi får då att $2x+4$ antar värdet $2\cdot3+4=10$ och $x+2$ värdet $3+2=5$ vilket inte är samma sak. SÅ det är inte en korrekt förenkling.
Om du däremot skulle löst en ekvation tex. $2x+4=10$, så hade division med två varit ett steg i lösningen.
$2x+4=10$
$x+2=5$
$x=3$
Alexandra Pope
Hej!
Ang. fråga 10.
2x(2⋅x−x⋅x−4⋅2−4⋅(−x))=2x(6x−x2−8) denna raden från förklaringen.
Hur får ni 6x? 2*x är det inte..inte heller -x*x så förstår inte hur den uträkningen går till.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Jag la till ytterligare ett mellansteg som jag hoppas förklarar hur det blir så.
$2x(x-4)(2-x)=$
$2x(2\cdot x-x\cdot x-4\cdot 2-4\cdot (-x))=$
$2x(2x-x^2-8+4x)=$
$2x(6x-x^2-8)$
Blev det tydligare?
Marcus Rask
Jag har så svårt att förstå detta, det går inte in i huvudet
Men borde inte rimligtvis
4x²+10x – 4x²-4x+4=6x+4? Men på fråga 15 blir det 14x+4.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Marcus,
det du skrivit är rätt, men jag tror du råkat missa att termerna får ombytta tecken när ett minus tecken står precis framför en parentes som tas bort.
Uppgiften var
$2x\left(2x+5\right)-4\left(x^2-x+1\right)$
Titta gärna på förklaringen en gång till, men
$2x\left(2x+5\right)-4\left(x^2-x+1\right)=$$\left(4x^2+10x\right)-\left(4x^2-4x+4\right)$
Nu tar vi bort parenteserna och får
$4x^2+10x-4x^2+4x-4=$ $14x-4$
Sara Arielsson
Hej, sitter med talet (9+2x)(3×-4) som ska multipliceras och förenklas. Men hur ska jag skriva förenklingen när jag kommer till 9*-4?
Simon Rybrand (Moderator)
Det kan vara bra att du skriver det negativa talet med parenteser då, dvs $9 \cdot (-4)$
Oskar Petrone
Hej. Den Distributiva lagen (A + B)(C+D) Geometriska exemplet är fel. Det ska stå bd inte ab på det nedre västra hörnet.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tack för att du påpekade detta, vi korrigerar inom kort!
Krister Ristvedt
Den utvidgade distributiva lagen, exempel 3. I utvecklandet av den första parentesen får ni fram x som den första siffran, men är det inte x^2, och därav den mest förenklade versionen av hela exempel ekvationen blir -2x+8…… eller är jag helt ute och cyklar? Har stirrat mig blind på den ekvationen en stund nu.
Simon Rybrand (Moderator)
Nej du är inte ute och cyklar, får be om ursäkt där för ”tryckfelsnisse” har varit framme, uträkningen skall innehålla $x^2$ där. Tack för att du kommenterade!
Petter Östergren
Hejsan, jag försöker förenkla ett utryck men tyck tänka galet enligt boken borde det bli förenklat till 8 – 2a
Uttrycket är 2(a – 2)^2 – 2a(a – 3)
Så då tänkte jag först räkna ut 2(a – 2)^2 = (2*a – 2*2)^2 = (2a-4)^2 = 4a – 16
sedan = 2a(a – 3) = 2a^2 – 5a
Och sedan lägga ihop dom.
4a – 16 – 2a^2 – 5a = -2a^2 – a – 16
Vid N(4) skall slu*t resulatet == 0
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Petter
Kika i texten på den här sidan längst ned så har vi ett likvärdigt exempel som du kan utgå ifrån 🙂
Isabella Lindell
2b (3-2b) – (5b-5) (b+6)
hur ska man tänka när det är 3 paranteser?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Multiplicera ihop dem först, sedan förenkla.
Erica Bolin
Hej!
Jag har två liknande tal som jag inte riktigt får rätsida på, det är (x – 1/2)^2 och (3 – 5y)^2 som ligger i Kapitlen om algebra i exponent 2b. Hur går jag tillväga för att förenkla dessa tal?
Jag ser ju svaren i Facit men att komma fram till samma sak är en annan femma.
Simon Rybrand (Moderator)
Kan visa en, använd här kvadreringsreglerna:
$(x – 1/2)^2=x^2+2·x·(1/2)+(1/2)^2=x^2+x+1/4$
Tänk här på att:
$ (\frac12)^2=\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4} $
5:45: Finns det någon anledning eller generell regel som säger att man ska multiplicera parenteserna först? T.ex. “faktorer av samma sort först” eller liknande.
Simon Rybrand (Moderator)
Kika på prioriteringsreglerna
Dennis M
3(x+10)=3x+103(x+10)=3x+10 <– varför inte =3x+30?
x2(x−x2)=x3−x4x2(x−x2)=x3−x4
−x2(4+x−x2)=−4×2−x3+x4
Simon Rybrand (Moderator)
Lite osäker på vad det är som du behöver hjälp med här? Om du funderar på $ 3(x+10)=3x+30 $ i texten så hittade jag det felet, tack för att du uppmärksammade oss på detta!
Sara Svensson
Behöver hjälp med detta tal: (2x-4) (3+5x). Har kört fast och får inte samma lösning som facit.
Simon Rybrand (Moderator)
Här skulle jag räkna ut det på följande vis:
$ (2x-4)(3+5x)=(2x)·3+(2x)·(5x)-4·3-4·(5x)= $
$ 6x+10x^2-12-20x=10x^2-14x-12 $
Vcarlsson
Hej Är inte med på uppgift 8, reglerna för parenteserna när det är flera på rad, vilka multipliceras med vilka?
Simon Rybrand (Moderator)
Uppdaterade förklaringen till den uppgiften så att det förhoppningsvis skall vara tydligare, så kika igen på det svaret!
Judith Sandström
Uppgift 1: 3(x-2)
Uppgift 2 3x(x^2-3x)
Där är det minustecken inom parentesen, gäller inte teckenbyte vid distributiva lagen?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Jag tro du kanske tänker på när det står ett minustecken framför parentesen. Då byter man tecken framför alla termer i parentesen när denna tas bort.
Här multiplicerar vi det innan parentesen med det i denna. Då får man ett positivt resultat om det är samma tecken och negativt om det är olika tecken.
Karl
Jag förstår inte hur jag ska räkna ut fråga 8: (x+1)(x−1)(x+2)
Hur ska jag multiplicera parenteserna med varandra?
Alexandra Wismar
Hej!
Förstår inte riktigt hur det fungerar när man byter tecken och hittar ingenstans i min bok där det förklaras, det står bara att lika tecken blir positivt och olika tecken blir negativt.
Hur ska man tänka om man gör denna uppgiften?
x(x-2)-x(x+3)
Simon Rybrand (Moderator)
Där behöver du ta hänsyn till att det står ett minus framför x:et framför den andra parentesen. Det gör att tecknen ändras när du multiplicerar in det x:et i parentesen. Du får då:
$ x(x-2)-x(x+3)=x^2-2x-x^2-3x=-5x $
I den andra parentesen kan du alltså tänka att du multiplicerar ett negativt x med ett positivt x (negativt svar) och sedan ett negativt x med en positiv 3:a (negativt svar).
Det kan krävas lite träning innan detta sitter så fortsätt att träna på liknande uppgifter så kommer du snart att öva upp en känsla för hur det fungerar.
mdnaziri@hotmail.com
Hej!
På den utvigade distributiva lagen fick du svaret till: -x^2+x+6 men borde svaret inte bli x+6-2. Eller spelar det ingen roll vilket håll man placerar siffrorna?
Tack!
Simon Rybrand (Moderator)
Spelar inte jättestor roll i vilken ordning termerna kommer även om man ofta väljer att skriva dem i fallande ordning beroende på vilken grad variabeln har och konstanterna sist.
jonasfredriksson89@gmail.com
Om du får en stund över så får du gärna skriva varför det inte stämmer för mig
Tar ut den del i uttrycket som blir knepigt. Det är sista delen.
-x(x-4)
-(x^2+4)
-x^2-4
Men ska jag få rätt på uppgiften så
-x(x-4)
-(x^2-4)
-x^2+4
När jag multiplicerar x med parantesen har jag ju -x*-4. Lika tecken ger plus i nästa steg. Sen tar jag bort parantesen helt och är på minus fyra igen…Men det går inte så..
jonasfredriksson89@gmail.com
Löste sig. Förstår att när jag multiplicerar med -x tar jag bort och byter tecken i parantesen direkt?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, bra att det löste sig. Ett sätt att skriva ut det är att göra teckenomvandlingarna direkt då vi multiplicerar in $(-x)$, dvs
$(-x)(x-4)=-x^2+4x$
nadja.pavlova.rashid92@gmail.com
Multiplicera in och förenkla
2+2(5-x).
Hur löser jag denna uppgift ?
mvh/ Nadja
Simon Rybrand (Moderator)
Här multiplicerar du först in 2:an i parentesen och sedan lägger du ihop de termer som är av samma sort.
$ 2+2(5-x)=2+10-2x=12-2x $
Dalvin Bangura
Hej hur löser man 6(2x – 1) =10x
Simon Rybrand (Moderator)
Börja där med att multiplicera in 6 i parentesen så att du får:
$ 12x-6=10x $
(Addera med 6)
$ 12x=10x+6 $
(Subtrahera med 10x)
$ 2x=6 $
(dela med 2)
$ x=3 $
George+
Hej Simon,
Om man har utvecklat ett uttryck som denna -x(2-x^2) (som exemplet på videon) och har fått fram följande svar: -2x+x^3 , vad händer om man skulle skriva det på följande sätt: x^3-2x , att man vänder på termerna. Kan man göra det eller skulle jag få fel på denna fråga om den ingick i ett matteprov som jag skulle göra?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Du kan byta ordningen på termerna men behöver förstås vara lite försiktig med när du byter ordningen så att du inte glömmer att få rätt tecken.
Du skulle inte få fel på ett matteprov om det inte uttryckligen anges att det skall skrivas på ett visst sätt.
Vanligt är ändå att man skriver termer med högsta grad först och sedan i fallande ordning.
George+
Hej, på fråga 2 utveckla uttrycket
3x(x^2-3x), när jag multiplicerar 3x med -3x då blir det 9x^2, men enligt potensregeln då man multiplicerar så ska basen vara densamma dvs. jag räknade det som 3x•(-3x)=3x^2, när vet man att man även multiplicerar koefficienterna också. En annan fråga på nästa test som jag gjorde så skulle man förenkla uttrycket 4^8•5^9 och jag svarade 20^17, men svaret var att det ej går att förenkla? Hjälp…
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Där är ju basen x på bägge så då adderas exponenterna. När man multiplicerar två algebraiska termer så skall du alltid multiplicera koefficienterna med varandra. Man kanske kan förtydliga det på följande vis:
$ 3x⋅(-3x) = 3⋅(-3)⋅x⋅x = -9x^{1+1}=-9x^2 $
På den andra uppgiften är problemet att du har olika bas vilket gör att du inte kan addera exponenterna med varandra. Du har heller inga koefficienter att multiplicera med varandra, därför är det svårt att (utan räknare) förenkla det uttrycket.
ceratien
vad menas med ⇔ ? i ditt svar? För övrigt så är videon jätte bra!
Simon Rybrand (Moderator)
Det är ett så kallat ekvivalenstecken, man kan uttala det som ”samma sak som” vilket innebär att tex ett led i en ekvation är ”samma sak som” nästa led.
Nada Yacoub
Hej hur löser man den här ekvationen
4(x+4)=(4-4x)+16
Simon Rybrand (Moderator)
$4\left(x+4\right)=(4-4x)+16⇔$
${{4} \, {x}}+{16}=4-4x+16⇔$
${{4} \, {x}}+{16}=-4x+20⇔ (+4x)$
${{8} \, {x}}+{16}=20⇔ (-16)$
${8} \, {x}=4⇔$
$x=\frac{1}{2}$
